「 ２次方程式 」

2006.11.9	解説：教育センター　西村保三
	出題：摂南大学数物系教室

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２次方程式　ax² + bx + c ( a ≠ 0, b, c は定数）の解は，

ただし判別式　　の時は実数解なし

２次方程式の解き方

（１）因数分解による方法

例　i)　x^２ + 2ｘ ｰ9 = 0，　 ii)　2x² + 3x + 1 = 0

　

解　i) 左辺を因数分解して ( x−3 ) ( x + 1 ) = 0 となるので　x = 3, ｰ1．
　　ii) 左辺を因数分解して ( 2x + 1) ( x + 1 ) = 0 となるので　x = ｰ1,

（２）平方完成による方法

例　ｘ^２ + 2ｘ ｰ9 = 0

　

解　左辺を平方完成して ( x + 1 )^２ｰ10 = 0 となるので ( x + 1 )^２ = 10，
両辺の平方根をとって　　すなわち　

（３）解の公式による方法

（２）の方程式　ｘ^２ + 2ｘ ｰ9 = 0　を解の公式に当てはめると

　

注意　根号の中が負になるときは方程式の実数解はありません．

例 ｘ² + 2ｘ + 3 = 0

解 判別式 D = 2² ｰ4 ・2 ・ 3 = ｰ20 < 0 より解なし．

解の判別
解の公式の根号の中の式　D = b^２ ｰ 4ac　を判別式といいます．

i)　D < 0　のとき，解なし

ii)　D > 0 のとき，相異なる2実数が解

iii)　D = 0 のとき，１つの解（重解）

　

例題　k を定数とするとき，２次方程式　x^２ + 2 ( k + 1 ) x + k^２ +2 = 0 の実数解の個数を調べなさい．

解　 判別式は D = { 2( k + 1 ) }^２ｰ4 ( k^２ + 2 ) = 4 ( 2k ｰ1 ).

　

従って　　のとき 2 個， 　のとき 1 個， 　のとき 0 個．

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